摘要:文章重点比较了模拟低通、模拟高通、数字低通、数字高通滤波器的相位响应特性。通过滤波实例直观地看出滤波前后的波形变化,进步一加深相位线性变化对滤波影响的理解。

1. Low Pass Analog Filter

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$
H(s)=\frac {2.232}{s^3+2.614s^2+3.416s+2.232}
$$
4types_hpsi_lps.jpg

4types_xy_lp.jpg

上图分别选取不同频率($\omega=0.2\pi,0.3\pi,0.6\pi,0.8\pi$)的波通过模拟低通滤波器,图5是所有的组合通过情况,图6是低频的组合通过的情况:

  • 随着$\omega$的增大,通过的幅度越来越小;
  • 通过的波存在相位延迟,这和相位响应是一致的;
  • 图5表示滤波的过程,留下低频成分;
  • 图6可以看出低频信号通过滤波器,只有相位移动,原因是$\psi(j\omega)$在$\omega\subseteq[0.2\pi,0.3\pi]$呈现线性变化,故信号不失真。

2. High Pass Analog Filter

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(s)=\frac {s^3}{s^3+3.625s^2+6.569s+5.953} $$
4types_hpsi_hp.jpg

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上图分别选取不同频率($\omega=0.2\pi,0.4\pi,0.8\pi,1.0\pi$)的波通过模拟低通滤波器,图5是所有的组合通过情况,图6是高频的组合通过的情况:

  • 随着$\omega$的增大,通过的幅度越来越大,体现高通的特性;
  • 通过的波存在相位超前,这和相位响应对应的位置是一致的;
  • 图5表示滤波的过程,留下高频频成分;
  • 图6可以看出高频信号通过滤波器,形状发生改变,原因是$\psi(j\omega)$在$\omega\subseteq[1.0\pi,1.5\pi]$不呈现线性变化,故信号失真。

3. Low Pass Digital Filter

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.2292+0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1-0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}} $$
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上图分别选取不同频率($\Omega=0.2\pi,0.3\pi,0.6\pi,0.8\pi$)的波通过数字低通滤波器,图5是所有的组合通过情况,图6是低频的组合通过的情况:

  • 随着$\Omega$的增大,通过的幅度越来越小,体现高通的性质;
  • 通过的波存在相位延迟,这和相位响应是一致的;
  • 图5表示滤波的过程,留下低频成分;
  • 图6可以看出低频信号通过滤波器,只有相位移动,原因是$\psi(j\Omega)$在$\Omega\subseteq[0.6\pi,0.8\pi]$呈现线性变化,故信号不失真。

4. Low Pass Digital Filter

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.2292-0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1+0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}} $$

4types_hpsi_lp.jpg

4types_xy_hpz.jpg

上图分别选取不同频率($\Omega=0.2\pi,0.4\pi,0.8\pi,1.1\pi$)的波通过数字低通滤波器,图5是所有的组合通过情况,图6是高频的组合通过的情况:

  • 随着$\Omega$的增大,通过的幅度越来越大,体现高通的性质;
  • 图1~4的波的相位变化不是很明显,理论上是超前的;
  • 图5表示滤波的过程,留下高频频成分;
  • 图6可以看高频出信号通过滤波器,信号基本上只有相位移动,图形基本不失真,原因是$\psi(j\Omega)$在$\Omega\subseteq[0.8\pi,1.1\pi]$呈现线性变化,故信号不失真。

总结:

  1. 滤波器的频率响应$|H(j\omega)|$或$|H(j\Omega)|$决定了哪些频率的波可以通过系统;
  2. 滤波器的相位响应$|\psi(j\omega)|$或$|\psi(j\Omega)|$决定了波通过的相位变化,线性变化的相位响应不会改变信号组合的形状。非线性变化的相位响应会改变信号组合的形状,但不会改变单频信号的形状;
  3. 在处理如声音这类不容易听出变化的信号,可以采用具有非线性相位变化的滤波器,IIR滤波器能够应付;
  4. 在处理如图像这类容易看出变化的信号,宜采用具有线性相位变化的滤波器,因此FIR有限长度滤波器孕育而生。

有关FIR数字滤波器的MATLAB实验敬请期待。感谢中国MOOC学院北京交通大学陈后金老师《数字信号处理》的课程。

标签: 滤波

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