摘要:Kronig-Penny模型是能带理论的经典模型,但大多数教科书仅止步于说明能带间隙的产生,而没有返回讨论波函数的定性分布情况。本文第一、二部分罗列了经典的求解过程,第三部分用数值计算的方法,重点讨论了特定能量下的波函数分布,给出直观的呈现,第四部分做定性半定量讨论。

0. Question

question
存在以上周期势场,求电子波函数分布?最后可以通过$b\to 0,U_0\to \infty,bU_0= 常数$来化简问题。其中的技巧是要用到布洛赫函数的性质:
$$ \psi(x+T)=\psi(x)e^{ikT}$$
用人话表述是:晶体中电子波函数具有调幅的平面波形式。

1.Basic Equation

$-b<x<0$
$$\psi(x)=Ce^{Q x}+De^{-Q x} ,Q^2=\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}$$

$0<x<a$
$$\psi(x)=Ae^{iK x}+Be^{-iK x} ,K^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

$a<x<a+b$
$$\psi(x)=[Ce^{Q (x-a-b)}+De^{-Q (x-a-b)}]e^{ik(a+b)} $$

$x=0$处$\psi(x),\psi(x)'$连续:
$$
A+B=C+D \\
iK(A-B)=Q(C-D)
$$
$x=a$处$\psi(x),\psi(x)'$连续:
$$
Ae^{iK a}+Be^{-iK a}=(Ce^{-Qb}+De^{Q b})e^{ik(a+b)}\\
iK(Ae^{iKa}-Be^{-iKa})=Q(Ce^{-Qb}-De^{Qb})e^{ik(a+b)}
$$

有解条件是系数行列式为0,物理意义是这里的振幅没有归一化,全是成比例的,所以需要可约化。
$$[\frac{(Q^2-K^2)}{2QK}]sinh (Qb)sin(Ka)+cosh(Qb)cos(Ka)=cos(ka+kb)$$
为了简化问题,令$b=0,U_0\to \infty ,Q^2ab/2\equiv P $ ,即为周期性$\delta(x)$势场,也成为狄拉克梳。此时可化为:
$$\frac{P}{Ka}sin(Ka)+cos(Ka)=cos(ka)$$

2.More Details

为了便于数值求解,令$a=1,P=3\pi/2$,系数行列式可化为:
$$\frac{1.5 \pi}{ K}sin(K)+cos(K)=cos(k)$$

kronig_a.jpg

横轴表示$K$(能量)随逐渐变大,但等式右边的值必须介于$[-1,1]$否则得不到波矢量$k$的值,因此$K$的取值是有限制的,这就是解释了为什么会存在禁带。图中我们看到最小的能量在“1”处,对应$K=2.251$,这与自由电子最小能量从零开始是不一样的。“3”和“4”的波矢均为$\pi$,但两者存在能量差,这就是两分立能级间的禁带宽度。能带图如下:

bandstructure

一般我们只看第一布里渊区的能谱图。

3.波函数

为了更直观地表现粒子的运动状态,我们用数值计算“1”-"6"对应一个周期$[0,1]$内的波函数分布$|\psi(x)|^2$。
$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{K} & \text{cos(k)} & \text{k} \\
\hline
1 & 2.251 & 1 & 0 \\
2 & 2.631 & 0 & \pi/2 \\
3 & 3.141 & -1 & \pi \\
4 & 4.715 & -1& \pi \\
5 & 5.428 & 0 & - \pi/2 \\
6 & 6.280 & 1 & 0\\
\end{array}
$$
$$ \psi(x)=Ae^{iK x}+Be^{-iK x} $$
这里可先令$A=1,b=0.0001$,求得$B$:
$$B=\frac{e^{ik}(ibK-1)+e^{iK}}{e^{ik}(ibK+1)-e^{-iK}}$$
再对$\int_0^1|\psi(x)^2|dx=1$做归一化。
$$\psi(x)=\frac{\psi(x)}{\sqrt E}\\E=1+|B|^2+2sin(K)/K[real(B)*cos(K)+imag(B)*sin(K)]$$
经过简单的数值运算,得到
level1a.jpg

level2a.jpg

4.Discussion

  • 容易看出,第一能带有一个峰,第二能带有两个峰,当能量逐渐增大时,峰越来越往里“挤”;
  • 第一能带由低能到高能,$k$由$0\to \pi$。第二能带由低能到高能,$k$由$\pi\to 0$;
  • 相同的$k$值可以对应不同能带中对应的能量;
  • 最后给个有趣的现象,当第一能带逐渐增大时,在$k=\pi$时有波形的突变,这也是和自由电子很不一样的地方,这也正是狄拉克梳势场的结果:
    level1b.jpg
    结论对其他能带同样适用。
  • 另外可以自行体会价带顶和导带底波形的异同点。

标签: 能带

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