摘要:本文研究了低通、高通、带通、带阻模拟滤波器和数字滤波器的频率响应特性,单位脉冲响应以及零极点分布图,并定性解释了零极点分布图与频率响应特性的关系。

1.Analog Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(s)=\frac {2.232}{s^3+2.614s^2+3.416s+2.232} $$

b.High Pass

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(s)=\frac {s^3}{s^3+3.625s^2+6.569s+5.953} $$

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(s)=\frac {0.4196s^2}{s^4+0.9161s^3+5.157s^2+2.17s+5.611} $$

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(s)=\frac {s^4+4.737s^2+5.611}{s^4+1.539s^3+5.922s^2+3.646s+5.611} $$

Discussion

(1)比较四个模拟滤波器的频率响应$|H(j\omega)|$,$\omega\subseteq[-2\pi,2\pi]$,横坐标坐标归一化$\pi$。
4types_Hw.jpg
(2)比较四个模拟滤波器的相位响应$\psi(j\omega)$
4types_fai.jpg
(3)比较四个模拟滤波器的单位脉冲响应$h(t)$
4types_ht.jpg
(4)比较四个模拟滤波器的零极点分布图
4types_pzmap.jpg
(5)定性分析零极点与频率响应$|H(j\omega)|$的关系。
考虑$s=j\omega$:

  • 当低通时,$\omega$很小,所以分子不能有$s$项,且必须有常数项,所以低通滤波器没有零点。
  • 当高通时,$\omega$很大,所以分母要和分子同阶,故零极点的数目相同才能保证高频时$|H(j\omega)|$接近1。
  • 分子分母同阶还有一个有趣的现象是,化简$H(s)$时,会出现常数1,对应在$h(t)$是$\delta(t)$,表明在高频时,$h(t)$的其他分量都与信号卷积为0,只有$\delta(t)$的贡献,所以可以通过。这也是为什么$h(t)$第二、四图中的$t=0$的位置为负的原因,$\delta(t)$画不出来,只能画出其他部分。
  • 带阻滤波器具有低通和高通的性质,所以有常数项,也有最高项;而带通滤波器没有低通和高通的性质,故没有常数项和最高项,但有平方项,故在某$\omega$处存在极值,即为通过的频率带。

(6)相位响应$\psi(j\omega)$的分析将在下一个篇幅单独讨论,敬请期待。

2.Digital Filters

a.Low Pass

$w_p=0.4\pi ; w_s=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.2292+0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1-0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}} $$

b.High Pass

$w_p=0.6\pi ; w_s=0.4\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.2292-0.4584z^{-1}+0.2292z^{-2}}{1+0.2675z^{-1}+0.1843z^{-2}} $$

c.Band Pass

$w_{p_1}=0.4\pi ;w_{p_2}=0.6\pi ; w_{s_1}=0.3\pi;w_{s_2}=0.7\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.0995-0.1989z^{-2}+0.0995z^{-4}}{1+0.9316z^{-2}+0.3294z^{-4}} $$

d.Band Stop

$w_{p_1}=0.3\pi ;w_{p_2}=0.7\pi ; w_{s_1}=0.4\pi;w_{s_2}=0.6\pi;A_p=3dB;A_s=10dB;$
$$H(z)=\frac {0.4733+0.9467z^{-2}+0.4733z^{-4}}{1+0.6469z^{-2}+0.2465z^{-4}} $$

Discussion

(1)比较四个数字滤波器的频率响应$|H(j\Omega)|$,$\Omega\subseteq[-2\pi,2\pi]$,横坐标坐标归一化$\pi$。
4types_Hz.jpg
(2)比较四个数字滤波器的相位响应$\psi(j\Omega)$
4types_faiz.jpg

(3)比较四个数字滤波器的单位脉冲响应$h[k]$
4types_hk.jpg
(4)比较四个滤波器的零极点分布图
4types_zplane.jpg
(5)定性分析零极点与频率响应$|H(j\Omega)| $的关系。
由零极点可以得到 $$H(j\Omega)=\frac{(z-p_1)(z-p_2)}{(z-z_1)(z-z_2)} $$ 的形式。考虑$z=e^{j\Omega}$,不同的$\Omega$实际对应零极点图中单位圆上的不同位置:
4types_zplane2.jpg

而$|H(j\Omega)|$的大小实际上等价于$$\frac{绿色线段的长度乘积}{红色线段的长度乘积}$$两个零点表示乘两次。因此容易看出:

  • $\Omega$为低频0附近,图1图4的结果较大,表示低通和带阻滤波器可以低频通过。而图2图3的结果为零,表示高通和带通滤波器不能低频通过。
  • $\Omega$为高频$\pi$附近,图1图3的结果为0,表示低通和带通滤波器不能高频通过。而图2图4的结果较大,表示高通和带阻滤波器可以高频通过。
  • 我们可以很容易从零点分布看出哪些频率的波不能通过。极点与x轴的位置会影响$A_p,A_s$的衰减情况。

相位响应$\psi(j\Omega)$的分析将在下一个篇幅单独讨论,敬请期待。感谢中国MOOC学院北京交通大学陈后金老师《数字信号处理》的课程。

标签: 滤波

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